УГЛЫ, СВЯЗАННЫЕ С ОКРУЖНОСТЬЮ

Рассмотрим различные виды углов по отношению к данной окружности.

Угол с вершиной в центре окружности называется центральным  (рис. 1). Угол, вершина которого принадлежит окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным (рис. 2).

Каждый центральный и вписанный углы данной окружности определяют дуги окружности, которые состоят из точек окружности, принадлежащих этим углам. При этом говорят, что углы опираются на соответствующие дуги окружности.

Теорема. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу окружности.

Доказательство. Пусть угол АВС вписан в окружность с центром в точке О. Рассмотрим случай, когда одна из сторон угла, например АВ, проходит через центр О окружности (рис. 3). Треугольник ВОС - равно­бедренный и, следовательно, B = C. Угол АОС – внешний угол треуголь­ника ВОС и, следовательно, равен сумме углов В и С. Поэтому ABC = AOC.

В случае,  если  центр  О окружности лежит внутри угла АВС (рис. 4), проведем диаметр ВD и рассмотрим углы АВD и DBC. По доказанному ABD =  AOD, DBC = DOC.  Следовательно, ABC = AOC.

Самостоятельно рассмотрите случай, когда центр О лежит вне угла АВС. Используйте рисунок 5.

Следствие. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу ок­ружности, равны.

Доказательство. Действительно, если вписанные углы ACB и ADB опираются на одну и ту же дугу AB (рис. 6), то у них один и тот же центральный угол AOB. По доказанной теореме данные вписанные углы равны половине центрального угла AOB и, следовательно, равны между собой.

Дуги окружности измеряют соответствующими центральными углами. Поэтому теорему о вписанном угле можно переформулировать следующим образом:

Вписанный угол  измеряется половиной дуги окружности, на которую он опирается.

 

Вопросы

1. В окружности проведена хорда, равная радиусу. Под каким углом видна эта хорда из: а) центра окружности; б) произвольной точки окружности, отличной от концов данной хорды?

2. Чему равен вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности?

3. Центральный угол на 35 больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу. Найдите каждый из этих углов.

4. Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет: а) окружности; б) 10 % окружности.

 

Теорема. Угол с вершиной внутри круга измеряется полусуммой дуг, на которые опираются данный угол и вертикальный с ним угол.

Доказательство. Рассмотрим угол АСВ с вершиной С внутри круга и точками А и В на окружности. Пусть А₁, В₁ – точки пересечения с окруж­ностью сторон вертикального к нему угла (рис. 7). Проведем хорду BB₁. Угол АСВ является внешним углом треугольника B₁СВ. Следовательно, ACB = AB₁B + B₁BA₁. Углы, стоящие в правой части равенства измеряются половинами соответствующих дуг, что и завершает доказательство.

Задачи

1. Найдите геометрическое место вершин В прямоугольных треуголь­ников АВС с данной гипотенузой АС.

2. Для данных точек А и В найдите геометрическое место точек С, для которых угол АСВ: а) острый; б) тупой.

3. Докажите, что угол между касательной к окружности и хордой, проведенной через точку касания, измеряется половиной дуги окружности, заключенной внутри этого угла.

4. Докажите, что угол между двумя касательными к окружности измеряется полуразностью дуг, заключенных между его сторонами.

5. Докажите, что угол с вершиной вне круга, стороны которого пе­ресекают окружность, измеряется полуразностью дуг окружности, заклю­ченных внутри этого угла.

6. Найдите геометрическое место точек, из которых данный отрезок АВ виден под прямым углом, т. е. таких точек С, для которых угол АСВ равен 90.

7. Дан отрезок AB и прямая c, ему параллельная. Найдите точку C на прямой c, из которой отрезок AB виден под наибольшим углом.

8. Нарисуйте траекторию движения точки, закрепленной на окружности, катящейся внутренним образом по другой окружности, в два раза большего радиуса.

9. Окружность радиуса, равного высоте равнобедренного треугольника ABC, катится по основанию AB этого треугольника (рис. 8). Докажите, что при этом дуга MN окружности, ограниченная боковыми сторонами треугольника, все время остается равной углу C.